Forme de Killing
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Dans la théorie des algèbres de Lie, la forme de Killing est une forme bilinéaire symétrique naturellement associée à toute algèbre de Lie. Elle reflète un certain nombre de propriétés des algèbres de Lie (semi-simplicité, résolubilité…).
Contents
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Définition
Soit g une K-algèbre de Lie, où K désigne un corps (commutatif). La représentation adjointe définit pour tout vecteur x de g un endomorphisme K-linéaire ad(x) du K-espace vectoriel g :
ad
(
x
)
(
y
)
=
[
x
,
y
]
.
{\displaystyle {\text{ad}}(x)(y)=[x,y].}
Si g est de dimension finie, il existe une forme bilinéaire symétrique B définie par :
B
(
x
,
y
)
=
Tr
(
a
d
(
x
)
∘
∘
a
d
(
y
)
)
{\displaystyle B(x,y)={\text{Tr}}\left(ad(x)\circ ad(y)\right)}
où Tr désigne l'opérateur trace. Cette forme est appelée forme de Killing de g.
La forme de Killing est l'unique forme bilinéaire symétrique sur g invariante sous l'action des automorphismes de la K-algèbre de Lie g et vérifiant l'identité remarquable :
B
(
[
x
,
y
]
,
z
)
=
B
(
x
,
[
y
,
z
]
)
.
{\displaystyle B\left([x,y],z\right)=B\left(x,[y,z]\right).}
Curieusement, la forme de Killing a été définie par Élie Cartan, tandis que la matrice de Cartan a été définie par Wilhelm Killing.
Notes et références
Articles connexes